Este artículo es uno de los proyectos finales del curso Narrar la Ciencia en el Siglo XXI, dictado por la Fundación Persea en colaboración con la Universidad El Bosque, Bogotá, Colombia.

Recorriendo una parte de la historia de las matemáticas

Mónica Selva Soto

Hace 13 años asistí a la conferencia de presentación de un nuevo profesor en la Universidad de Colonia en Alemania. Él investigaba cómo fomentar en niños y niñas el entusiasmo por las matemáticas. Comenzó su charla leyéndonos este párrafo, que es una descripción de la matemática realizada por el profesor Hans de Rijk:

Considera a la matemática como un jardín hermoso, en cuyo centro hay un árbol frondoso cuyas ramas se extienden hasta el cielo. El tronco del árbol está ligado a los nombres de grandes matemáticos de la antigüedad: Pitágoras, Arquímedes, Euclides, Hypathia. En las ramas superiores encontramos matemáticos más recientes, tan grandes como los anteriores: Euler, Gauss, Hilbert, Emmy Noether. Si uno quiere llegar a esas ramas tiene que trepar el árbol. Pero no necesitamos trepar al árbol, en el jardín hay flores, arbustos, árboles más pequeños. Cuidando de ellos también podemos descubrir el encanto de las matemáticas.

Entremos a ese jardín. Comencemos observando a una pequeña flor, ya conocida por todos. Después, avanzaremos hacia el árbol en el centro del jardín. Nos detendremos un minuto a observar un pequeño arbusto que encontraremos en nuestro camino y, cuando lleguemos al árbol, levantaremos la vista hacia algunas de sus ramas más altas. 

Esa pequeña flor es una ecuación cuadrática, esa que aprendimos a cuidar al final de la enseñanza básica. Cuando vemos la ecuación aX²+bX+c=0 , nos viene a la mente su solución:  “menos b más menos raíz de b al cuadrado menos cuatro a c sobre 2 a”, ¿la recuerdas? En el siglo VIII la mayoría de las personas no sabían resolverlas. El matemático persa Al-Khwarizmi, quien vivió entre los años 780 y 850 d. C., dedicó todo un libro a su solución. Veamos cómo propone resolver la ecuación X²+10X-39=0.

Esta ecuación puede escribirse como X²+10X=39. El término X² podemos representarlo como el área de un cuadrado de lado X y el término 10X, como el área de un rectángulo de lados 10 y X. 

Ahora dividamos el rectángulo en cuatro partes de igual área. La idea es usar estos elementos para convertir este rectángulo en un gran cuadrado. Los lados de estos nuevos rectángulos miden 10/4 y X.

Estos rectángulos podemos colocarlos contiguos a los lados del cuadrado azul.

¡Llegó el momento de completar el cuadrado! ¿Recuerdas la frase completamiento cuadrático que usábamos en el colegio? Ésta es la idea detrás de ella. Para completar el cuadrado añadimos cuadraditos con área 10/4 por 10/4=100/16 en las esquinas de la figura anterior. Observa que el área total añadida es 4 por 100/16 = 25. 

El lado de este nuevo cuadrado es  10/4 + x+10/4 = x+5.

Ya estamos listos para determinar x. El área del último cuadrado es 64 (al área original, 39, hemos añadido cuatro cuadrados cuyas áreas suman 25), por tanto, sus lados tienen que medir 8, esto nos indica que X+5 = 8, es decir, X = 3.

Ingeniosa solución, ¿verdad? Las palabras actuales algoritmo y álgebra las debemos a Al-Khwarizmi, algoritmo se deriva de su nombre, mientras que álgebra del título de uno de sus libros.

El arbusto de las ecuaciones cúbicas 

Adentrémonos en el jardín. Ahí, entre las flores, hay un pequeño arbusto: el de las ecuaciones cúbicas. Por ejemplo, X³=3X+2  es una ecuación cúbica. Observa que el mayor exponente de X es 3. ¡Transcurrieron cerca de 700 años para tener una fórmula para las soluciones de estas ecuaciones! Fue Girolamo Cardano quien en 1545 publicó, en su libro Ars Magna, cómo resolverlas. Observa la página de Ars Magna que incluyo abajo: 

¿Dónde está la cruz griega, el símbolo que actualmente utilizamos para la suma? En la época de Cardano casi no se utilizaban símbolos matemáticos y en Italia se utilizaba la letra p para representar la suma. El primero en utilizar la cruz griega para la suma, en un libro impreso, fue un profesor de matemáticas de la Universidad de Leipzig y lo hizo alrededor de 1486, pero su uso se hizo popular en toda Europa muchos años después. Incluso, a mediados del siglo XVII se utilizaban, no solo la cruz griega, sino también la maltesa y latina para representar la suma. 

El segundo dato curioso sobre Ars Magna es cómo llegaron a publicarse en él las soluciones de ecuaciones cúbicas: fueron Scipio Ferro y Nicolo Tartaglia quienes descubrieron cómo resolverlas. Al escuchar Cardano que Tartaglia había ganado, a un estudiante de Ferro, una competencia sobre quién resolvía más ecuaciones cúbicas, insistió en que Tartaglia le revelara cómo lo hacía. Tartaglia accedió, pero le hizo prometer a Cardano que no daría a conocer su método. Cardano incumplió su promesa, aunque de forma leal, en Ars Magna escribe “Tartaglia, en respuesta a mis súplicas, me mostró la regla para resolver estas ecuaciones”.

El árbol en el centro del jardín 

¿Y qué ocurrió con las ecuaciones cuárticas o quínticas, donde el mayor exponente de la incógnita es cuatro o cinco? El análisis de su solución está  en las ramas superiores del árbol en el centro del jardín de las matemáticas. Fueron Niels Abel y Evariste Galois quienes respondieron la pregunta sobre cómo resolver ecuaciones como X⁵+3X²+X-10=0 o X¹⁰-9X⁸+25x-4=0. 

Niels Abel, quien murió de tuberculosis a los 26 años, demostró, en 1826 (¡casi 300 años después de publicarse Ars Magna!), que no es posible, realizando sumas, productos o calculando raíces de los números que aparecen en las ecuaciones, encontrar las soluciones de cualquier ecuación de grado (mayor exponente de x) mayor que 4. Évariste Galois, que murió en un duelo en 1832 a los 20 años, caracterizó qué tipos de ecuaciones de grado mayor que 4 sí pueden resolverse de forma similar a como se resuelven las ecuaciones cuadráticas, cúbicas o cuárticas y, al hacerlo, creó la teoría de grupos de Galois. Este jovencito, seguro de que moriría en el duelo que había aceptado, pasó la noche anterior escribiendo todos sus descubrimientos en una carta a un amigo. Afortunadamente, fueron publicados.

¿Cómo nacen los arbustos y las ramas del árbol del jardín de las matemáticas? 

Investiguemos la pregunta: ¿es posible encontrar X de modo que X²+X=-1? Si procedemos como Al-Khwarizmi, esta pregunta puede representarse gráficamente,  de modo que el área del cuadrado de lado X+12 sea igual a -1+4 por (1/16)=-34.

¿Es esto posible? Solo si se define un nuevo conjunto de números, el conjunto de los números complejos. 

De este modo avanza la matemática: pregunta – respuesta – nueva pregunta, nueva teoría, nuevas cosas por comprender y descubrir. 

Bibliografía

1. C. Boyer, U. Merzbach, A history of mathematics, 2011.
2. R. Rojas, El lenguaje de las matemáticas – historia de sus símbolos, 2018.
3. R. Kaenders, Begeisterung für Mathematik, 2008.

Ilustración de portada: Ada Peña.

Mónica Selva Soto es profesora del Departamento de Ingeniería Matemática en la Universidad de la Concepción en Chile.